هذا مقال عن كيفية تحليل كثير الحدود من الدرجة الثالثة. سوف يستكشف كيفية التحليل من خلال التجميع وكذلك استخدام المصطلح المجاني.
خطوات
جزء 1 من 2: التحليل بالتجميع
الخطوة 1. قم بتجميع كثير الحدود إلى جزأين
يتيح لنا تجميع كثير الحدود إلى جزأين الاقتراب من كل قسم على حدة.
لنفترض أننا نعمل مع كثير الحدود x3 + 3x2 - 6x - 18 = 0. لنجمعها في (x3 + 3x2) و (-6 x - 18)
الخطوة 2. اكتشف ما هو مشترك بين كل جزء
- النظر إلى (x3 + 3x2) ، يمكننا أن نرى ذلك x2 من الشائع.
- بالنظر إلى (-6x - 18) ، يمكننا أن نرى أن -6 أمر شائع.
الخطوة 3. حلل العوامل المشتركة بين المصطلحين
- العوملة x2 من القسم الأول لدينا x2(x + 3).
- بالعامل في -6 في القسم الثاني ، نحصل على -6 (x + 3).
الخطوة 4. إذا كان لكل من المصطلحين نفس العامل ، فيمكننا جمعهما
هذا يعطينا (x + 3) (x2 - 6).
الخطوة 5. ابحث عن الحل بالنظر إلى الجذور
إذا كان لديك x2 عند الجذر ، تذكر أن كلا من الأعداد السالبة والموجبة تملأ هذه المعادلة.
الحلول هي 3 و √6
جزء 2 من 2: التخصيم على المدى الحر
الخطوة 1. أعد ترتيب التعبير بحيث يصبح في شكل aX3+ bX2+ cX+ د.
لنفترض أننا نعمل بالمعادلة التالية: x3 - 4x2 - 7 س + 10 = 0.
الخطوة 2. أوجد كل عوامل "d"
سيكون الثابت "d" هو الرقم الذي لا يحتوي على أي متغيرات ، مثل "x" بجواره.
العوامل هي الأرقام التي يمكنك ضربها للحصول على رقم آخر. في حالتنا ، عوامل 10 ، أو "d" ، هي: 1 و 2 و 5 و 10
الخطوة 3. أوجد العامل الذي يساوي صفرًا في كثير الحدود
نريد تحديد العامل الذي يجعل كثيرة الحدود تساوي صفرًا عندما نعوض بعامل كل "x" في المعادلة.
-
لنبدأ باستخدام العامل الأول ، 1. لنستبدل "1" بكل علامة "x" في المعادلة:
(1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0
- هذا يعطينا: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- بما أن 0 = 0 صحيح ، فنحن نعلم أن x = 1 هو حل.
الخطوة 4. إجراء تعديل بسيط
إذا كانت x = 1 ، فيمكننا إعادة ضبط المعادلة لتبدو مختلفة قليلاً دون تغيير نتيجتها.
"x = 1" هو نفس الشيء مثل "x - 1 = 0" أو "(x - 1)". لقد طرحنا للتو "1" من طرفي المعادلة
الخطوة 5. حلل المصطلح إلى عوامل أخرى في المعادلة
"(x - 1)" هو المصطلح الخاص بك. دعنا نرى ما إذا كان بإمكاننا إخراجها من باقي المعادلة. نذهب إلى كثير حدود واحد في كل مرة.
- يمكننا إخراج (x - 1) من x3؟ نحن لا نستطيع. ولكن يمكننا استعارة an -x2 المتغير الثاني ثم يمكننا تحليلها: x2(س - 1) = س3 - س2.
- هل يمكننا تحليل (س - 1) ما تبقى من المتغير الثاني؟ لا ، مرة أخرى ، لا يمكننا ذلك. نحتاج إلى استعارة القليل من المتغير الثالث. نحتاج إلى استعارة 3x من -7x. هذا يعطينا -3x (x - 1) = -3x2 + 3x.
- نظرًا لأننا أخذنا 3x من -7x ، فإن المتغير الثالث هو الآن -10x والثابت هو 10. هل يمكننا تحليل ذلك؟ نستطيع! -10 (س - 1) = -10 س + 10.
- ما فعلناه هو إعادة ترتيب المتغيرات حتى نتمكن من تحليل (س - 1) عبر المعادلة. يجب أن تبدو المعادلة المُعاد ترتيبها كما يلي: x3 - س2 - 3x2 + 3x - 10x + 10 = 0 ، لكنها لا تزال هي نفسها x3 - 4x2 - 7 س + 10 = 0.
الخطوة 6. استمر في استبدال العوامل بالمصطلح المجاني
انظر إلى الأرقام التي قمنا بتجميعها باستخدام (x - 1) في الخطوة 5:
- x2(س - 1) - 3 س (س - 1) - 10 (س - 1) = 0. يمكننا إعادة ترتيب ذلك بحيث يكون من الأسهل إجراء التحليل مرة أخرى: (س - 1) (س2 - 3x - 10) = 0.
- نحن نحاول فقط تحليل (x2 - 3x - 10) هنا. ينتج عن هذا (س + 2) (س - 5).
الخطوة 7. سيكون الحل الخاص بك هو المصطلح المحلل إلى عوامل
يمكنك معرفة ما إذا كانت الحلول الخاصة بك تعمل حقًا عن طريق إعادة كل واحد على حدة إلى المعادلة الأصلية.
- (س - 1) (س + 2) (س - 5) = 0 هذا يعطينا الحل 1 و -2 و 5.
- ضع -2 مرة أخرى في المعادلة: (-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- ضع 5 مرة أخرى في المعادلة: (5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
نصائح
- كثير الحدود من الدرجة الثالثة هو نتاج ثلاث كثيرات حدود من الدرجة الأولى أو ناتج كثير حدود من الدرجة الأولى وكثير حدود من الدرجة الثانية لا يمكن تحليلها إلى عوامل. في الحالة الأخيرة ، نستخدم القسمة المطولة بعد إيجاد كثير الحدود من الدرجة الأولى لإيجاد كثير الحدود من الدرجة الثانية.
- لا توجد كثيرات حدود من الدرجة الثالثة ضمن الأعداد الحقيقية التي لا يمكن تحليلها إلى عوامل ، لأن كل متعدد الحدود التكعيبي يجب أن يكون له مصطلح حقيقي. لا يمكن تحليل المكعبات مثل x ^ 3 + x + 1 التي لها عدد غير نسبي في كثيرات الحدود مع عدد صحيح أو معامل منطقي. على الرغم من أنه يمكن تحليلها إلى عوامل باستخدام الصيغة التكعيبية ، إلا أنها غير قابلة للاختزال باعتبارها عددًا متعدد الحدود صحيحًا.